Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥BC于点E，连接AE，F为BC延长线上一点，若∠EAF=45°，则下列结论：
①BE²=AB²+CE²；
②AC²-AE²=EC•EB；
③BE²+CE²=2AE²；
④CF²+BE²=EF²
其中正确的是（　　）

A．①②③④

B．只有①②③

C．只有①④

D．只有②③④

Answer 1

分析：过点A作AG⊥BC于G，设AB=AC=2a，表示出CD，再根据等腰直角三角形的性质求出DE=CE=

2

2

a，BC=2

2

a，BG=CG=AG=

2

a，再求出BE，代入①计算；利用勾股定理求出AE，然后代入②计算；代入③进行计算；求出∠DAE=∠F，利用两组角对应相等，两三角形相似求出△ACF和△EDA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CF，再求出EF，然后代入④进行计算；最后即可得解．

解答：解：如图，过点A作AG⊥BC于G，设AB=AC=2a，
∵∠BAC=90°，
∴BC=2

2

a，BG=CG=AG=

2

a，
∵D为AC的中点，
∴CD=

1

2

AC=

1

2

×2a=a，
∵DE⊥BC，
∴DE=CE=

2

2

a，
∴BE=BC-CE=2

2

a-

2

2

a=

3 2

2

a，
∴AB²+CE²=（2a）²+（

2

2

a）²=

9

2

a²=BE²，故①正确；

∵GE=CG-CE=

2

a-

2

2

a=

2

2

a，
∴在Rt△AGE中，AE=

AG2+GE2

=

( 2 a)2+( 2 2 a)2

=

10

2

a，
∴AC²-AE²=（2a）²-（

10

2

a）²=

3

2

a²，
EC•EB=

2

2

a•

3 2

2

a=

3

2

a²，
∴AC²-AE²=EC•EB，故②正确；

∵BE²+CE²=（

3 2

2

a）²+（

2

2

a）²=5a²；
2AE²=2×（

10

2

a）²=5a²，
∴BE²+CE²=2AE²，故③正确；

∵∠EAF=45°，
∴∠DAE+∠CAF=45°，
∵∠CAF+∠F=∠ACB=45°，
∴∠DAE=∠F，
又∵∠ADE=∠ACF=180°-45°=135°，
∴△ACF∽△EDA，
∴

CF

AD

=

AC

DE

，
即

CF

a

=

2a

2 2 a

，
解得CF=2

2

a，
∴EF=CF+CE=2

2

a+

2

2

a=

5 2

2

a，
∴CF²+BE²=（2

2

a）²+（

3 2

2

a）²=

25

2

a²，
EF²=（

5 2

2

a）²=

25

2

a²，故④正确；
综上所述，正确的是①②③④．
故选A．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，设未知数，用AB的长度表示出所求结论中的各线段是解题的关键，也是本题的难点．