Question

点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，A是OD的中点，且AB=AD．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）如果⊙O的半径为1，弦AE∥BD，cos∠AEB=，求阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O直径，
∴OA=OC，
∵AB=AD，A为OD中点，
∴AB=AD=OA，
∴∠DBO=90°，
∴OB⊥DB，
∵OB为半径，
∴BD是⊙O切线；

（2）解：连接OE，OB，
∵∠DBO=90°，AE∥BD，
∴∠ADO=90°，
∵AB=AD=OA，
∴AB=OE，
∴△ABD≌△EOD，
∴S_阴影=S_扇形OBE==．
分析：（1）根据已知求出AB=AD=OA，推出∠DBO=90°，根据切线判定推出即可；
（2）先证明△ABD≌△EOD，将阴影部分的面积转化为扇形OBE的面积．
点评：本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，三角形的面积，扇形的面积，弓形的面积等知识点的综合运用．