Question

如图，在△ABC中，D为BC边上一点，过点D作AC、AB的平行线分别交AB、AC于F、E．
（1）若△BFD的面积为4，△DEC的面积为9，求△ABC的面积．
（2）设△BDF与△DEC的面积分别为S₁，S₂，平行四边形AFDE的面积为S₃，求证：S₁+S₂≥S₃，并指出点D位于BC的何处时S₁+S₂=S₃成立？

Answer 1

分析：（1）由DF∥AC，DE∥AB，得△BDF∽△DCE，根据相似三角形的性质得S_△BDF：S_△DCE=BD²：DC²=4：9，则BD：DC=2：3，得到
BD：BC=2：5，又△BFD∽△BAC，得到S_△BFD：S_△BAC=BD²：BC²=4：25，即可得到△ABC的面积．
（2）设BD=a，DC=b，由△BFD∽△BAC，得

S1

S1+ S2+S3

=

a2

(a+b) 2

①；由△CED∽△CAB，得

S2

S1+S2+S3

=

b2

(a+b) 2

②，
①+②得，

S1+ S2

S1+S2+S3

=

a2+b2

(a+b) 2

，利用比例的性质得

S1+S2

S3

=

a2+b2

2ab

≥1，即可得到结论．当（a-b）²=0，S₁+S₂=S₃成立，即点D是BC的中点．

解答：（1）解：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴∠B=∠CDE，∠BFD=∠A，
∴△BDF∽△DCE，
∴S_△BDF：S_△DCE=BD²：DC²=4：9，
∴BD：DC=2：3，
∴BD：BC=2：5，
又∵DF∥AC，
∴△BFD∽△BAC，
∴S_△BFD：S_△BAC=BD²：BC²=4：25，
∴S_△ABC=25．

（2）证明：设BD=a，DC=b，
∵△BFD∽△BAC，
∴

S1

S1+ S2+S3

=

a2

(a+b) 2

①，
∵△CED∽△CAB，
∴

S2

S1+S2+S3

=

b2

(a+b) 2

②，
①+②得，

S1+ S2

S1+S2+S3

=

a2+b2

(a+b) 2

，
∴

S1+S2

S3

=

a2+b2

2ab

，
由（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，
∴S₁+S₂≥S₃，
当a²+b²=2ab，即（a-b）²=0，S₁+S₂=S₃成立．
∴a=b，即点D是BC的中点．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边，截得的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了比例和不等式的性质．