Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB=3，CD=2，AD=7，试问在AD上是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△DCP是相似三角形？如果不存在，请说明理由；如果存在这样的点有几个？它距A点多远？

Answer 1

分析：在AD上是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△DCP是相似三角形，由于以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似时的对应点不能确定，故应分两种情况讨论．

解答：解：在AD上是否存在点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△DCP是相似三角形，
理由如下：
设P为AD上一点，且PA=x，
若△DCP∽△APB或△DCP∽△ABP，则，

CD

PA

=

DP

AB

或

CD

AB

=

DP

AP

，
∵AB=3，CD=2，AD=7，
∴

2

x

=

7-x

3

或

2

3

=

7-x

x

，
∴x2-7x+6=0或2x=21-3x，
解得：x=1或6或

21

5

，
∴在AD上存在点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△DCP相似，这样的点P有三个，它距A点分别为　1，6，

21

5

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．