Question

已知，在△ABC中，AB=4，AC=5，，点D是边AC上的点，点E是边AB上的点，且满足∠AED=∠A，DE的延长线交射线CB于点F，设AD=x，EF=y．

（1）如图1，用含x的代数式表示线段AE的长；
（2）如图1，求y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（3）连接EC，如图2，求当x为何值时，△AEC与△BEF相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）过点D作DH⊥AE，垂足为点H．根据等腰三角形的性质和三角函数的定义可得含x的代数式表示线段AE的长；
（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G．根据平行线分线段成比例可得y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（3）当△AEC与△BEF相似时，有两种情况：①∠A=∠FEB，；②∠A=∠FEB，；根据相似三角形的性质可得x的值．
解答：解：（1）过点D作DH⊥AE，垂足为点H．
∵∠A=∠AED，
∴AD=ED，
∴，
∵，AD=x，
∴，
∴．

（2）过点D作DG∥AB，交BC于点G．
∴，
∵AB=4，AC=5，
∴，
∴，
∵AB∥DG，
∴，
∵，EF=y，
∴，
∴．

（3）∵∠AED=∠FEB，∠AED=∠A，
∴∠A=∠FEB，
当△AEC与△BEF相似时，有两种情况：
①∠A=∠FEB，，
∴，
又∵y=10-3x，
∴；
②∠A=∠FEB，，
∴，
又∵y=10-3x，
∴（舍）．
综上所述，当时，△AEC与△BEF相似．
点评：考查了相似形综合题，其中包括等腰三角形的性质、三角函数、平行线分线段成比例、相似三角形的性质，其中第三问要分两种情况讨论，综合性较强，有一定的难度．