Question

19．如图，AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于O，且AC=BD．求证：OD=OC．

Answer 1

分析 由AD⊥DB，BC⊥CA，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由AC=BD，AB为公共边，利用HL得到△ABC≌△DEF，由全等三角形的对应角相等得到一对角相等，利用等角对等边得到OA=OB，利用等式的性质即可得到OC=OD

解答 解：∵AD⊥DB，BC⊥CA，
∴∠ADB=∠BCA=90°．
在Rt△ABC和Rt△BAD中$\left\{\begin{array}{l}AC=BD\\ AB=BA\end{array}\right.$
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠BAC=∠ABD．
∴OA=OB．
又∵AC=BD，
∴AC-OA=BD-OB，
∴OC=OD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．