Question

10．如图①所示，四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE与∠BCD的角平分线CA相交于E点，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°．
（1）∠DEC的度数为90°；
（2）试说明直线AD∥BC；
（3）延长DE交BC于点F，连结AF，如图②，当AC=8，DF=6时，求四边形ADCF的面积．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理即可求解；
（2）首先求得∠ADC的度数和∠DCB的度数，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得；
（3）根据S_{四边形ADCF}=S_△ACD+S_△ACF，利用三角形的面积公式求解即可．

解答 解：（1）∠DEC=180°-∠ACD-∠CDE=180°-32°-58°=90°；
（2）∵DE平分∠ADC，CA平分∠BCD
∴∠ADC=2∠CDE=116°，∠BCD=2∠ACD=64°
∵∠ADC+∠BCD=116°+64°=180°
∴AD∥BC
（3）∵由（1）知∠DEC=90°，
∴DE⊥AC
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DE=$\frac{1}{2}$×8•DE=4DE，
S_△ACF=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×8•EF=4EF，
∴S_{四边形ADCF}=S_△ACD+S_△ACF=4DE+4EF=4（DE+EF）=4DF=4×6=24．

点评 本题考查了平行线的判定与性质，正确理解S_{四边形ADCF}=S_△ACD+S_△ACF是解题的关键．