Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，D为BC边上一点，CD=3，过A，C，D三点的⊙O与斜边AB交于点E，连结DE．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）求△ACD外接圆的直径的长；
（3）若AD平分∠CAB，求出BD的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可证∠AED=90°，所以∠DEB=90°，再由公共角相等即可证明△BDE∽△BAC；
（2）由圆周角定理可证明AD是△ACD外接圆的直径，在直角三角形ACD中利用勾股定理可求出AD的长，问题得解；
（3）设BD=x，则BC=CD+x，由勾股定理可求出AB的长，由（1）可知△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可得到关于x的比例式，进而可求出x的值，BD的长得解．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，
∴AD是圆的直径，
∴∠AED=90°，
∴∠DEB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）∵∠ACB=90°，
∴AD是圆的直径，
∵AC=6，CD=3，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{45}$=3$\sqrt{5}$；
（3）∵AD平分∠CAB，AE⊥DE，AC⊥CD，
∴CD=DE=3，
设BD=x，则BC=CD+x=3+x，
在Rt△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（3+x）^{2}}$，
∵△BDE∽△BAC，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
即$\frac{3}{6}=\frac{x}{\sqrt{{6}^{2}+（3+x）^{2}}}$，
∴4x²=6²+（3+x）²，
解得：x=5或-3（舍），
∴BD=5．

点评 本题考查了和圆有关的综合性题目，用到的知识点有圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程，题目的综合性较强，难度中等，利用方程思想解决几何题目是解题的关键．