Question

18．如图，在Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=$\frac{3}{5}$．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动．已知点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤5）
（1）求AC，BC的长；
（2）当t为何值时，△APQ的面积为△ABC面积的$\frac{1}{10}$；
（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似．

Answer 1

分析 （1）根据正弦的定义和勾股定理求出AC，BC的长；
（2）作PE⊥AC于E，根据相似三角形的性质用t表示出PE，根据三角形的面积公式和题意列出方程，解方程即可；
（3）分△APQ∽△ABC和△APQ∽△ACB两种情况，根据相似三角形的性质列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵Rt△ABC中，AB=10cm，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=6cm，
则AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=8cm，
∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）作PE⊥AC于E，
由题意得，BP=2tcm，AQ=tcm，
则AP=（10-2t）cm，
∵PE∥BC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PE}{BC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{PE}{6}$，
解得，PE=6-$\frac{6}{5}$t，
∴△APQ的面积=$\frac{1}{2}$×t×（6-$\frac{6}{5}$t），△ABC面积=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
由题意得，$\frac{1}{2}$×t×（6-$\frac{6}{5}$t）=$\frac{1}{10}$×24，
解得，t₁=1，t₂=4，
则当t为1s或4s时，△APQ的面积为△ABC面积的$\frac{1}{10}$；
（3）当△APQ∽△ABC时，$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{10-2t}{10}$=$\frac{t}{8}$，
解得，t=$\frac{40}{13}$，
当△APQ∽△ACB时，$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AQ}{AB}$，即$\frac{10-2t}{8}$=$\frac{t}{10}$，
解得，t=$\frac{25}{7}$，
故当t为$\frac{40}{13}$s或$\frac{25}{7}$s时，△APQ与△ABC相似．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、一元二次方程的解法，灵活运用相关的定理、定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．