Question

8．定义：a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数．如：2的差倒数是$\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数是$\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推a_n+1是a_n的差倒数，请你直接写出a₂₀₁₆=4．

Answer 1

分析 求出数列的前4项，继而得出数列的循环周期，然后求解可得．

解答 解：∵a₁=-$\frac{1}{3}$，
a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
…，
∴这列数每3个数为一周期循环，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查数字的变化规律，解决此类问题时通常需要确定数列与序数的关系或者数列的循环周期等，此题得出这列数每3个数为一周期循环是解题的关键．