Question

18．已知：如图，四边形ABCD内接于圆O，其中AC⊥BD，点F和点G分别是线段AB和CD的中点．
（1）若四边形EFOG为菱形，求证：∠ACB=∠CBD；
（2）求证：四边形EFOG为平行四边形．

Answer 1

分析 （1）利用圆内弦、弦心距以及圆心角之间的关系得出AB=CD，进而得出答案；
（2）利用三角形斜边上中线的性质以及平行线的判定方法结合等腰三角形的性质得出EF∥GO进而得出答案．

解答 证明：（1）∵点F和点G分别是线段AB和CD的中点，
∴OG⊥DC，OF⊥AB，
∵四边形EFOG为菱形，
∴FO=GO，
∴AB=CD，
∴∠ACB=∠CBD；

（2）∵AC⊥DB，
∴∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°，
∵点F和点G分别是线段AB和CD的中点，
∴EF=AF=BF，EG=DG=GC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠2+∠GEC=90°，∠1+∠ACD=90°，
∴∠GEC=∠FEB，
同理可得：∠EGC=∠FEB，
∵∠OGE=90°-∠EGD=90°-（180°-2∠2）=-90°+2∠2，
∠FEG=90°+2（90°-∠2），
∴∠FEG+∠EGO=180°，
∴EF∥GO，
同理可得：FO∥EG，
∴四边形EFOG为平行四边形．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及平行四边形的判定、三角形斜边上中线的性质等知识，得出∠FEG+∠EGO=180°是解题关键．