Question

16．如图，抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-bx-c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，$\frac{3}{2}$），直线y=kx-$\frac{3}{2}$过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．
（1）求抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-bx-c与直线y=kx-$\frac{3}{2}$的解析式；
（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点m，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决．
（2）设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m-$\frac{5}{2}$），则M（m，$\frac{3}{4}$m-$\frac{3}{2}$），根据PM=CE，列出方程即可解决问题．
（3）由△PMN∽△CDE，得$\frac{△PMN的周长}{△CDE的周长}$=$\frac{PM}{DC}$，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²-bx-c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，$\frac{3}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2\\;b+c=0}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$，
∵直线y=kx-$\frac{3}{2}$过点A（2，0），
∴2k-$\frac{3}{2}$=0，
∴k=$\frac{3}{4}$，
∴直线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$．

（2）存在．
设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m-$\frac{5}{2}$），则M（m，$\frac{3}{4}$m-$\frac{3}{2}$），
∴PM=（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m-$\frac{5}{2}$）-（m，$\frac{3}{4}$m-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m+4．
由y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$令x=0，得y=-$\frac{3}{2}$，
∴点C坐标（0，-$\frac{3}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{2}}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-8}\\{y=-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，
∴点D坐标（-8，-$\frac{15}{2}$）
∴CE=-$\frac{3}{2}$-（-$\frac{15}{2}$）=6，
∵PM∥CE，
∴要使得四边形PMEC是平行四边形，必有PM=EC，
∴-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{2}$m+4=6，
解得m=-2或-4，符合-8＜m＜2，
当m=-2时，y=-$\frac{1}{4}$×（-2）²-$\frac{3}{4}$×（-2）+$\frac{5}{2}$=3，
当m=-4时，y=-$\frac{1}{4}$×（-4）²-$\frac{3}{4}$×（-4）+$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴满足条件的点P坐标为（-2，3），（-4，$\frac{3}{2}$）．

（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6，由勾股定理可知：CD=10，
∴△CDE周长为24，
∵PM∥y轴，∠PMN=∠DCE，∠PNM=∠DEC，
∴△PMN∽△CDE，
∴$\frac{△PMN的周长}{△CDE的周长}$=$\frac{PM}{DC}$，
∴$\frac{-\frac{1}{4}{m}^{2}-\frac{3}{2}m+4}{10}$=$\frac{l}{24}$，
∴l=-$\frac{3}{5}$m²-$\frac{18}{5}$m+$\frac{48}{5}$=-$\frac{3}{5}$（m+3）²+15，
∵-$\frac{3}{5}$＜0，
∴l有最大值，当m=-3时，l的最大值为15．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．