如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差.那么称这个自然数为智慧数.例如:16=52-32.16就是一个智慧数.小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索:小明的方法是一个一个找出来的:0=02-02.1=12-02.3=22-12.4=22-02.5=32-22.7=42-32.8=32-22.9=52-42.11=62-52.-小王认为小明的方� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：
16=5²-3²，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：
小明的方法是一个一个找出来的：
0=0²-0²，1=1²-0²，3=2²-1²，
4=22-0²，5=3²-2²，7=4²-3²，
8=3²-2²，9=5²-4²，11=6²-5²，…
小王认为小明的方法太麻烦，他想到：
设k是自然数，由于（k+1）²-k²=（k+1+k）（k+1-k）=2k+1．
所以，自然数中所有奇数都是智慧数．
问题：
（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15；
（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．
（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．

分析（1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；
（2）仿照小王的做法，将（k+2）²-k²用平方差公式展开即可得出结论；
（3）验证26是否符合4k+2，如果符合，则得出26不是智慧数．

解答解：（1）继续小明的方法，12=4²-2²，13=7²-6²，15=8²-7²，
即第12个智慧数是15．

（2）设k是自然数，由于（k+2）²-k²=（k+2+k）（k+2-k）=4k+4=4（k+1）．
所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．

（3）令4k+2=26，解得：k=6．
故26不是智慧数．

点评本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题的关键是：（1）仿照小明的办法继续找下去；（2）将将（k+2）²-k²用平方差公式展开；（3）令4k+2=26，求出k值．解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．

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