Question

如图所示，在平面直角坐标中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A、B两点，A在B的左侧，且OA、OB的长是方程x²-4x+3=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．
（1）求⊙M的直径；
（2）求点N的坐标；
（3）在x轴上存在点T，使△OTN是等腰三角形，请直接写出T的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）解方程x²-4x+3=0即可得出OA，OB的长，OB减OA就是圆的直径，
（2）连接MN，作ND⊥x轴，运用勾股定理求出ON的长，利用直角三角形中30°的角求出点N的坐标．
（3）T的坐标要分四种情况①当OT=TN时，②当OT=ON时，③当ON=TN时④当OT=ON时，且在x轴的负半轴，分别利用△OTN是等腰三角形求出点T的坐标．

解答：解：（1）解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，
∵OA、OB的长是方程x²-4x+3=0的两根，
∴OA=1，OB=3，
∴⊙M的直径=OB-OA=3-1=2；
（2）如图1，连接MN，作ND⊥x轴，

由（1）可知⊙M的直径为2，
∴MN=1，
∵OA=1，
∴OM=1+1=2，
∴ON=

OM2-MN2

=

22-1

=

3

，
∵sin∠MON=

MN

OM

=

1

2

，
∴∠sin∠MON=30°，
∴DN=

1

2

ON=

3

2

，OD=

3

DN=

3

2

，
∵N在第四象限．
∴点N的坐标（

3

2

，-

3

2

）；
（3）①如图2，当OT=TN时，

设T的坐标为（m，0），
∵TN=

( 3 2 -m)2+( 3 2 )2

∴OT²=TN²，即m²=（

3

2

-m）²+

3

4

，
解得m=1，
∴点T的坐标为（1，0）．
②如图3，当OT=ON时，

∵ON=

3

，
∴点T的坐标为（

3

，0），
③如图4，当ON=TN时

设T的坐标为（m，0），
∵TN=

( 3 2 -m)2+( 3 2 )2

∴ON²=TN²，即（

3

）²=（

3

2

-m）²+

3

4

，
解得m=3，m=0（舍去），
∴点T的坐标为（3，0）．
④如图5，当OT=ON时，且在x轴的负半轴，

∵ON=

3

，
∴OT=

3

∵T在x轴的负半轴，
∴点T的坐标为（-

3

，0）
∴△OTN是等腰三角形，点T的坐标为：（1，0），（

3

，0），（3，0）或（-

3

，0）．

点评：本题主要考查了圆的综合题，涉及一元二次方程，勾股定理及圆的知识，第三问是难点，解题的关键是分四种情况讨论得出T的坐标．