Question

已知m、n是正整数，且m≥n．由5mn个单位正方体组成长、宽、高顺次为m、n、5的长方体，将此长方体相交于某一顶点三个面涂色，若恰有一半的单位正方体各面都没有涂到颜色，则有序数组（m，n）=

 

．

Answer 1

分析：首先根据题意得到方程：（5-1）（m-1）（n-1）=

1

2

•5mn，再将方程变形可得：3n=8（1+

n

m

-

1

m

），由m≥n，m，n为正整数，易得n≤5，又由n≥2，所以将n=2，3，4，5代入方程计算，即可求得答案．

解答：解：由题意：（5-1）（m-1）（n-1）=

1

2

•5mn，
整理得：3mn=8（m+n-1），
∴3n=8（1+

n

m

-

1

m

），
∵m≥n，m，n为正整数，
∴3n＜16，
∴n≤5，
又由题设知n≥2，
将n=2，3，4，5代入方程计算，
只有当n=3、4时，m为正整数，对应的解是16、6．
∴有序数组（m，n）=（16，3）与（6，4）．
故答案为：（16，3）、（6，4）．

点评：此题考查了立体图形的知识．解题的关键是得到方程：（5-1）（m-1）（n-1）=

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2

•5mn，利用方程思想求解．