Question

【题目】如图，以AB为直径的半圆O交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G．

（1）求证：DE为半圆O的切线；

（2）若GE=1，BF=，求EF的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OD，易得OD为△ABC的中位线，则OD∥BC，由于DE⊥BC，所以DE⊥DO，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由AB为半圆O的直径得到∠AFB=90°，易证得△BGE∽△EGF，利用可计算出GF，然后在Rt△EGF中利用勾股定理可计算出EF．

试题解析：（1）连接OD，如图，

∵AB为半圆O的直径，D为AC的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥BC，

∵DE⊥BC，

∴DE⊥DO，

又∵点D在圆上，

∴DE为半圆O的切线；

（2）∵AB为半圆O的直径，

∴∠AFB=90°，

而DE⊥BC，

∴∠GEB=∠GFE=90°，

∵∠BGE=∠EGF，

∴△BGE∽△EGF

∴，

∴GE2=GFGB=GF（GF+BF）

∵GE=1，BF=，

∴GF=，

在Rt△EGF中，EF=．