Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=8，以AB为直径作⊙O正好与CD相切于点E．
（1）填空：∠COD=______°；
（2）若设AD=x，BC=y，请求出y关于x的函数关系式；
（3）若梯形ABCD的周长为28，请求出AD的长（假设AD＜BC）．

Answer 1

解：（1）∵DA、DE为⊙O的切线，
∴∠ODE=∠ADE，同理可得∠OCE=∠BCE，
又∵AD∥BC，∴∠ADE+∠BCE=180°，
∴∠ADE+∠BCE=90°，
即∠ODE+∠OCE=90°，∴∠COD=90°．
故答案为：90；

（2）过D点作DF⊥BC，垂足为F，由切线长定理，得AD=DE=x，BC=CE=y，
在Rt△CDF中，DF=AB=8，CD=CE+DE=x+y，CF=y-x，
由勾股定理，得CD²=CF²+DF²，即（x+y）²=（y-x）²+8²，解得（x＞0）；

（3）由（2）可知2x+2y+8=28，xy=16，
解得x=2，y=8，∴AD=x=2．
分析：（1）由切线长定理可知，OD平分∠ADE，OC平分∠BCE，再由AD∥BC，得∠ADE+∠BCE=180°，由此可得∠ODE+∠OCE=90°，证明结论；
（2）过D点作DF⊥BC，垂足为F，由切线长定理及勾股定理得出y关于x的函数关系式；
（3）由切线长定理可知AD=DE=x，BC=CE=y，由已知周长及（2）中的关系式求x即可．
点评：本题考查了切线长定理的运用，直角梯形的性质及勾股定理的运用．关键是由切线长定理得出角平分线及有关线段的相等关系．