Question

【题目】一副三角板的三个内角分别是90,45,45和90,60,30,按如图所示叠放在一起,若固定三角形AOB,改变三角形ACD的位置(其中点A位置始终不变),可以摆成不同的位置,使两块三角板至少有一组边平行。设∠BAD=α(0<α<180)

(1)如图1中,请你探索当α为多少时,CD∥OB，并说明理由；

(2)如图2中,当α=___时,AD∥OB；

(3)在点A位置始终不变的情况下，你还能摆成几种不同的位置，使两块三角板中至少有一组边平行，请直接写出符合要求的α的度数。（写出三个即可）

Answer 1

【答案】（1）15°（2）45°（3）105°或135°或150°或165°或135°或75°或45°或30°

【解析】

（1）由平行内错角相等得：∠AEC=∠B=45°，再由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得α=15°；
（2）图3中，直接由平行内错角得出α=∠B=45°；
（3）分别画出图形，根据各图形求出α的值．

（1）如图1,当∠α=15°,CD∥OB，

∵∠D=30°,∠α=15°，

∴∠1=45°，

∵∠B=45°，

∴∠1=∠B，

∴CD∥OB。

（2）当α=45°时，AD∥OB，

∵∠B=45°，

∴∠α=∠B，

∴AD∥OB；

故答案为：45°.

（3）①如图3，AO∥CD

∴∠D+∠DAO=180°，

∴∠BAD=180°45°30°=105°，

∴当α=105°时,CD∥OA；

②如图4，AC∥OB

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠BAD=∠CAB+∠CAD=45°+90°=135°，

∴当α=135°时,AC∥OB；

③如图5，DC∥AB

∴∠C=∠BAC=60°，

∴∠BAD=90°+60°=150°，

∴当α=150°时,DC∥AB；

④如图6，DC∥OB

连接BC，

∵DC∥OB，

∴∠DCB+∠OBC=180°，

∵∠ACD=60°,∠OBA=45°，

∴∠ACB+∠ABC=180°60°45°=75°,

∴∠CAB=105°，

∴∠BAD=360°90°105°=165°，

∴当α=165°时,CD∥OB；

⑤如图7,AD∥OB，

∴∠DAO=∠O=90°，

∴∠BAD=90°+45°=135°，

∴当α=135°时,AD∥OB；

⑥如图8,CD∥OA，

∴∠D=∠DAO=30°，

∴∠BAD=30°+45°=75°，

∴当α=75°时,CD∥OA；

⑦如图9，AC∥OB

∴AO与AD重合，

∴∠BAD=45°，

∴当α=45°时,AC∥OB；

⑧如图10，OC∥AB

∴∠BAD=∠D=30°，

∴当α=30°时,OC∥AB.