Question

14．如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC，CD，AE上．若BE=9，则小正方形EFGH的边长$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 由四边形ABCD为正方形，得到四个角为直角，四条边相等，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AE的长，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABE与三角形EFC相似，由相似得比例，求出EF的长，即为小正方形EFGH的边长．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=12，CE=3，
在Rt△ABE中，AB=12，BE=9，
∴AE=$\sqrt{12^2+9^2}$=15，
∵∠AEB+∠CEF=∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CEF，且∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{AE}{EF}$．即$\frac{12}{3}$=$\frac{15}{EF}$，
解得：EF=$\frac{15}{4}$，
则小正方形EFGH的边长$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．