Question

如图，△ABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，BC∥x轴，AB平分∠CAO．抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）正方形EFGH的顶点E在线段AB上，顶点F在对称轴右侧的抛物线上，边GH在x轴上，求正方形EFGH的边长；
（3）设直线AB与y轴的交点为D，在x轴上是否存在点P，使∠DPB=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据已知抛物线，利用对称轴公式代入数据即可得出对称轴，同时也可以得出C点的坐标，利用AC=BC，即可得出A点的坐标和B点的坐标，代入抛物线方程即可得出a的值，即得出该抛物线的解析式；
（2）设正方形的边长为m（m＞0），首先利用待定系数法求得直线AB的解析式，然后即可求得正方形的边长；
（3）作BK⊥x轴于K，再取M（-

3

2

，0）和N（9，0），根据△DOP∽△PQB 即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，
∴当x=0时，y=4，
∴C（0，4），且抛物线的对称轴是直线x=-

-5a

2a

=

5

2

，
∴B（5，4），
∵BC∥x轴，AB平分∠CAO，
∴∠CAB=∠BAO，∠BAO=∠ABC，
∴∠CAB=∠ABC，
∴AC=BC=5，
∴AO=

AC2-OC2

=3，
即A（-3，0），
∴9a+15a+4=0，
解得a=-

1

6

∴抛物线的解析式是y=-

1

6

x²+

5

6

x+4；

（2）不妨设正方形的边长为m（m＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，

-3k+b=0 5k+b=4

，
解得：

k= 1 2 b= 3 2

，
∴直线AB的解析式为：y=

1

2

x+

3

2

，
当y=m时，x=2m-3，
∴点E（2m-3，m），
∴点F（3m-3，m）
代入抛物线得：-

1

6

（3m-3）²+

5

6

（3m-3）+4=m，
即3m²-9m=0，
解得：m=0或3；
∴正方形EFGH的边长为3．

（3）作BK⊥x轴于K，再取M（-

3

2

，0）和N（9，0）
只有当点P落在M、O之间和K、N之间各一个位置能使∠DPB=45°，
如图，当点P在KN上时，再作PQ⊥BN于Q，可证△DOP∽△PQB 有

DO

OP

=

PQ

QB

，
先求出D（0，

3

2

），再设P（x，0），
∴

3

2

（4

2

-

9-x

2

）=x•

9-x

2

经整理得，2x²-15x-3=0，解得x=

15± 249

4

，应取x=

15+ 249

4

…（8分）
同理，当当点P在AO上时，4（

3 2

2

-

x+\f(3

2

，

2

)）=

x+\f(3

2

，

2

)（5-x），
经整理得，2x²-15x-3=0，解得x=

15± 249

4

，应取x=

15- 249

4

…（10分）
综上所述，在x轴上存在符合要求的两点P（

15± 249

4

，0）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．