Question

【题目】如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（﹣1，0）．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）对称轴x=﹣=﹣2；点A的坐标为（﹣3，0）

（2）满足条件的点P有3个，分别为（﹣2，3），（2，3），（﹣4，﹣3）；

（3）存在；直线CM的解析式为y=x+3．

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=﹣，求得抛物线的对称轴，因为函数与X轴的交点是y=0，列方程即可求得；

（2）分别以AC，AB为对角线各可求得一点，再以AC，AB为边求得一点；

（3）首先可求得梯形DEOC的面积，根据题意：在OE上找点F，使OF=，此时S△COF=××3=2，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M，设直线CM的解析式为y=kx+3，它经过点F（﹣，0），则﹣k+3=0，解之，得k=．∴直线CM的解析式为y=x+3．

试题解析：（1）①对称轴x=﹣=﹣2；

②当y=0时，有x2+4x+3=0，解之，得x1=﹣1，x2=﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0）．

（2）满足条件的点P有3个，分别为（﹣2，3），（2，3），（﹣4，﹣3）．

（3）存在．

当x=0时，y=x2+4x+3=3，∴点C的坐标为（0，3），∵DE∥y轴，AO=3，EO=2，AE=1，CO=3，

∴△AED∽△AOC，∴即，∴DE=1．∴S梯形DEOC=（1+3）×2=4，

在OE上找点F，使OF=，此时S△COF=××3=2，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛物线于点M．设直线CM的解析式为y=kx+3，它经过点F（﹣，0）．

则﹣k+3=0，解之，得k=，∴直线CM的解析式为y=x+3．