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如图1所示,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=90°,O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动.
(1)点E,F的移动过程中,△OEF是否能成为∠EOF=45°的等腰三角形?若能,请指出△OEF为等腰三角形时动点E,F的位置;若不能,请说明理由;
(2)当∠EOF=45°时,设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式,写出x的取值范围;
(3)在满足(2)中的条件时,若以O为圆心的圆与AB相切(如图2),试探究直线EF与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
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分析:(1)可分三种情况进行讨论:
①当OE=EF时;②当OF=EF时;③当OE=OF时;
(2)本题可通过图中的相似三角形BOE和CFO,可得出关于BO,OC,OE,OF的比例关系式,由于OB=OC=
2
,由此可得出关于y,x的函数关系式.
(3)要证EF是否与圆O相切,那么就要证O到EF和AB的距离是否相等.
解答:解:(1)点E,F移动的过程中,△OEF能成为∠EOF=45°的等腰三角形.
①当OE=EF时,∠OEF是直角,F,A重合,OE是三角形ABC的中位线,E是AB中点.
②当OF=EF时,∠OFE是直角,与①同理,E,A重合,F是AC中点
③当OE=OF时,如果连接OA,那么OA必然平分∠BAC,
∴BO=CO,∠B=∠C=45°,EO=FO,精英家教网
因为∠EOF=45°,
∴∠BOE+∠COF=∠BOE+∠BEO=135°,
∴∠COF=∠BEO,
∴△BEO≌△COF,
∴BE=CO=
1
2
BC,
∵AB=AC=2,
∴在Rt△ABC中,BC=
AB2+AC2
=2
2

∴BE=CF=
2


(2)在△OEB和△FOC中,
∵∠EOB+∠FOC=135°,∠EOB+∠OEB=135°,
∴∠FOC=∠OEB.
又∵∠B=∠C,
∴△OEB∽△FOC.精英家教网
BE
CO
=
BO
CF

∵BE=x,CF=y,OB=OC=
1
2
22+22
=
2

∴y=
2
x
(1≤x≤2).

(3)EF与⊙O相切.
∵△OEB∽△FOC,
BE
CO
=
OE
OF
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BE
BO
=
OE
OF

BE
OE
=
BO
OF

又∵∠B=∠EOF=45°,
∴△BEO∽△OEF.
∴∠BEO=∠OEF.
∴点O到AB和EF的距离相等.
∵AB与⊙O相切,
∴点O到EF的距离等于⊙O的半径.
∴EF与⊙O相切.
点评:本题主要考查了相似三角形的性质,切线的判定等知识点,通过相似三角形得出角相等或边成比例是解题的关键.
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绕B点旋转180°
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可与△BDE重合.

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8
5
4
3
或2
8
5
4
3
或2

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图1是一个机器零件的立体示意图

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