Question

如图正方形ABCD中，E是边BC上一动点，BC=nBE，DO⊥AE于点O，CO的延长线交AB于点F．
（1）当n=2时，DO=______AO；OE=______AO．
（2）当n=3时，求证．
（3）当n=______时，F是AB的5等分点．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，DO⊥AE，
∴∠EAD=∠AEB，∠B=∠AOD，
∴△AOD∽△EBA，
∴，
∵AB=BC=2BE，
∴2AO=AD，
∴OE=AO．
故答案为：2，；

（2）证明：延长AE与DC，相交于G，
设AB=3a，BE=a，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EC，
∴CG=2AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴，
∴AO=OD，OG=3OD，
∴，
∵△AFO∽△GCO，
∴，
∵△ABE∽△GCE，
∴，
即：，
∴CG=6a，
∴；
∴==：9a²=．

（3）∵延长AE与DC，相交于G，
∵AB∥CD，
∴AE：EG=BE：EG，
∴CG=（n-1）AB，
∵OD⊥AE，∠ADC=90°，
∴△AOD∽△DOG，
∴，
∴AO=OD，OG=nOD，
∴，
∵△AFO∽△GCO，
∴，
∵AF=AB，
∴，
即：n²-5n+5=0，
解得：n=．
∴当n=时，F是AB的5等分点．
分析：（1）根据三角形相似得出2AO=AD，OE=AO．
（2）利用△AFO∽△GCO，以及△ABE∽△GCE分别求出CG=6a，，即可得出答案；
（3）假设F是AB的5等分点，利用三角形相似，即可求出答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质等知识．此题综合性较强，那难度较大，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用．