Question

25、如图，矩形ABCD中，AB=a，AD=b，P是边DC上的任意一点，连接PA、PB，点E、F、G分别是AB、BP、PA的中点．
（1）求证：四边形EFPG是平行四边形；
（2）试猜想：当P位于什么位置时，四边形EFPG是菱形？并证明猜想的正确性；
（3）以下是小慧和小聪的一段对话：
你赞成谁的观点？如果赞成小慧，请说明理由；如果赞成小聪，请直接写出a与b之间的关系式．

Answer 1

分析：（1）运用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明；
（2）当P位于DC中点时，四边形EFPG是菱形．先由矩形的性质，得∠D=∠C=90°，DA=CB，再根据中点的定义证明△DAP≌△CBP，从而得PA=PB，再根据中点的定义证得PG=PF，根据一组邻边相等的平行四边形得证四边形EFPG是菱形．
（3）小慧的观点正确，由一组邻边相等的平行四边形可得菱形，只要P为DC的中点，△DAP≌△CBP时，PA=PB，平行四边形EFDG即为菱形，所以与a、b之间的关系无关．

解答：（1）证明：∵点E、F、G分别是AB、BP、PA的中点，
∴EG∥PB，EF∥PA，∴四边形EFPG是平行四边形．

（2）解：当P位于DC中点时，四边形EFPG是菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，DA=CB．
又∵P为DC中点，∴DP=CP．
∴△DAP≌△CBP，∴PA=PB．
∵F、G分别是PB、PA的中点，
∴PG=PF．
又∵四边形EFPG是平行四边形，
∴四边形EFPG是菱形．

（3）解：我赞成小慧的观点，理由如下：
由（2）知，只要PA=PB，四边形EFDG即为菱形．
即当P为DC的中点，△DAP≌△CBP时，PA=PB．这与a、b之间的关系无关．

点评：解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．