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    16．在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两点

    （1）如图①，AM=CN，连接DM并延长，交AB于点F，连接BN并延长，交DC于点E，连接BM、DN，求证：△MFB≌△NED．
    （2）在解决第（1）问的过程中，你用到了“正方形ABCD”的哪些性质？如果改变“正方形”这个条件，第（1）问还可以解决吗？说说你的想法．
    （3）如图②，AM≠CN，连接BM并延长交AD于点G，连接DH并延长交BC于点N，连接DM、BN，若∠AMB=105°，∠DNC=115°，求∠GMD+∠HNB的大小．

    分析 （1）如图①中，连接BD交AC于O，先证明四边形BMDN是平行四边形，再根据NM⊥BD即可证明四边形MBND是菱形，证明四边形BFDE是平行四边形，得到∠BFM=∠DEN，再证明BM=DN，∠BMF=∠DNE即可解决问题．
    （2）写出解决（1）问用到正方形的性质，再进行说明确实条件不能解决问题的缘由；
    （3）先证明△NCB≌△NCD，得到∠BNC=∠DNC=115°，同理可证∠AMD=∠AMB=105°，求出∠GMD、∠HNB的度数即可解决问题．

    解答 （1）证明：如图①中，连接BD交AC于O．

    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
    ∵AM=CN，
    ∴OM=ON，∵OB=OD，
    ∴四边形MBND是平行四边形，
    ∵MN⊥DB，
    ∴四边形MBND是菱形．
    ∴DM∥NB，BM=DN，∠DMB=∠DNB，
    ∴∠BMF=∠DNE，
    ∵BF∥DE，
    ∴四边形BFDE是平行四边形，
    ∴∠BFM=∠DEN，
    在△MFB和△NED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEN}\\{∠BMF=∠DNE}\\{MB=DN}\end{array}\right.$，
    ∴△MFB≌△NED．
    （2）在解决第（1）问的过程中，用到了“正方形ABCD”的四边相等，对角线互相垂直平分，对角线平分对角；
    如果改变了正方形这个条件，得不出四边形BFDE是平行四边形，进而全等也不能证明．
    （3）如图②中，

    ∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠BCN=∠DCN，BC=CD，
    在△NCB和△NCD中，$\left\{\begin{array}{l}{CN=CN}\\{∠NCB=∠NCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
    ∴△NCB≌△NCD，
    ∴∠BNC=∠DNC=115°，同理可证∠AMD=∠AMB=105°，
    ∵∠CNH=180°-∠DNC=65°，
    ∴∠BNH=∠BNC-∠CNH=50°，
    ∴∠DMG=105°-75°=30°，
    ∴∠GMD﹢∠HNB=30°+50°=80°．

    点评 本题考查四边形综合题，涉及到了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

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