Question

已知，点P（x，y）在第一象限，且x+y=12，点A（10，0）在x轴上，设△OPA的面积为S．
（1）求S关于x的关系式，并确定x的取值范围；
（2）当△OPA为直角三角形时，求P点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）画出图形，表示出OA和PB的长，建立关于x的三角形面积的表达式，即为一次函数表达式；
（2）分情况讨论：①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去； ②若A为直角顶点，则PA⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y=-x+12中，得y=2，求出点P坐标为（10，2）；③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB，根据相似三角形的性质求出P点横坐标，进而得到P点坐标．
解答：解：（1）由 x+y=12得，y=-x+12．
即P（x，y）在y=-x+12的函数图象上，且在第一象限，
过点P作PB⊥x轴，垂足为B．
则 S_△OPA===-5x+60，且0＜x＜12；
（2）分情况讨论：
①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去； 
②若A为直角顶点，则PA⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y=-x+12中，得y=2，
所以点P坐标（10，2）；
③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB．
∴．
∴PB²=OB•AB．
∴（-x+12）²=x（10-x）．
解得．
∴点P坐标（8，4）或（9，3）．
∴当△OPA为直角三角形时，点P的坐标为（10，2）或（8，4）或（9，3）．
点评：本题考查了一次函数综合题，熟悉一次函数的性质以及三角形的面积公式以及懂得直角三角形的性质是解题的关键．