【题目】如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.
(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;
(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)BM=MC.理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠C,然后利用“边角边”证明△ABM和△BCP全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=BP,∠BAM=∠CBP,再求出AM⊥BP,从而得到MN∥BP,然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;
(2)根据同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ,然后求出△ABM和△MCQ相似,根据相似三角形对应边成比例可得,再求出△AMQ∽△ABM,根据相似三角形对应边成比例可得,从而得到,即可得解.
试题解析:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠C,
在△ABM和△BCP中,
,
∴△ABM≌△BCP(SAS),
∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,
∵∠BAM+∠AMB=90°,
∴∠CBP+∠AMB=90°,
∴AM⊥BP,
∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,
∴AM⊥MN,且AM=MN,
∴MN∥BP,
∴四边形BMNP是平行四边形;
(2)解:BM=MC.
理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,
∴∠BAM=∠CMQ,
又∵∠ABC=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCQ,
∴,
∵△MCQ∽△AMQ,
∴△AMQ∽△ABM,
∴,
∴,
∴BM=MC.
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【题目】某校实施课程改革,为初三学生设置了 A,B,C,D,E,F 共六门不同的拓展性课程,现随机抽取若干学生进行了“我最想选的一门课”调查,并将调查结果绘制成如图统计图表(不完整)根据图表提供的信息,下列结论错误的是( )
A. 这次被调查的学生人数为200人
B. 扇形统计图中E部分扇形的圆心角为72°
C. 被调查的学生中最想选 F 的人数为 35 人
D. 被调查的学生中最想选 D 的有 55 人
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【题目】在某次射击训练中,甲、乙、丙、丁4人各射击10次,平均成绩相同,方差分别是S甲2=0.35,S乙2=0.15,S丙2=0.25,S丁2=0.27,这4人中成绩发挥最稳定的是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
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【题目】在某一城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标.经测算:甲队单独完成这项工程需要60天,乙队单独完成这项工程需要90天;若由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙两队合做完成.
(1)甲、乙两队合作多少天?
(2)甲队施工一天需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱?还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?
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【题目】对于圆的周长公式C=2πr,下列说法正确的是 ( )
A. C,r是变量,2是常量 B. r是变量,C是常量
C. C是变量,r是常量 D. C,r是变量,2π是常量
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【题目】为降低空气污染,启东飞鹤公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车.计划购买A型和B型两种公交车共10辆,其中每台的价格,年载客量如表:
A型 | B型 | |
价格(万元/台) | a | b |
年载客量(万人/年) | 60 | 100 |
若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需400万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需350万元.
(1)求a,b的值;
(2)如果该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次.请你设计一个方案,使得购车总费用最少.
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【题目】如图所示,火车站、码头分别位于A,B两点,直线a和b分别表示铁路与河流.
(1)从火车站到码头怎样走最近,画图并说明理由;
(2)从码头到铁路怎样走最近,画图并说明理由;
(3)从火车站到河流怎样走最近,画图并说明理由.
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