Question

已知直线与轴x交于点A（-4，0），与y轴交于点B。

（1）求b的值；
（2）把△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，点A落在y轴的A′处，点B若在x轴的B′处。
①求直线A′B′的函数关系式；
②设直线AB与直线A′B′交于点C，矩形PQMN是△AB′C的内接矩形，其中点P，Q在线段上，点M在线段AB′上，点N在线段AC上。若矩形PQMN的两条邻边的比为1∶2，试求矩形PQMN的周长。

Answer 1

解：（1）把A（-4，0）代入，得 b=2。
（2）①，令，得，∴B（0，2）， 由旋转性质可知 ，，， ∴A′（0，4），B′（2，0）， 设直线A′B′的解析式为， 可得：，解得：， ∴直线A′B′的解析式为； ②∵点N在AC上， ∴设N（，）（）， ∵四边形PQMN为矩形， ∴NP=MQ=， ⅰ）当PN：PQ=1∶2时，  PQ=2PN=， ∴a（x+4+x，0），M（，）， ∵点M在B′C上， ∴， 解得， 此时，，PQ=， ∴矩形PQMN的周长为； ⅱ）当PN∶PQ=2∶1时，  PQ=PN=， ∴Q（，0），M（，）， ∵点M在B′C上， ∴， 解得：x=0， 此时PN=2，PQ=1， ∴矩形PQMN的周长为2（2+1）=6，  综上所述，当PN∶PQ=1∶2时，矩形PQMN的周长为8； 当PQ∶PN =1∶2时，矩形PQMN的周长为6。