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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），精英家教网与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
    （3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）利用A、C的坐标，即可由待定系数法求得抛物线的解析式．
    （2）首先设出点M的横坐标，即可表示出N点的坐标，进而可求得CN的长，以CN为底，OM为高，可求得△MNC的面积，从而得到关于△NMC和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得△MNC的最大面积及对应的M、N点坐标．
    （3）欲求点P的坐标，首先要求出点F的纵坐标，分三种情况：
    ①OD=DF，已求得A（-2，0），D（-1，0），那么AD=OD=DF=1，即△AFO是等腰直角三角形，且FD是斜边上的高，可据此求得F点的纵坐标为-1，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标；
    ②OF=FD，过F作x轴的垂线，设垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质可得出E点的坐标，进而可得到AE的长，由于△AFE是等腰直角三角形，那么AE=EF，由此求出点F的纵坐标，将其代入抛物线的解析式中，即可得到点P的坐标；
    ③OD=OF=1，由于O到直线AP的距离为
    		2
    ＞1，因此这种情况不成立．
    解答：精英家教网解：
    （1）由题意，得
    4a-2a+c=0
    c=-2
    ，（1分）
    解得
    a=1
    c=-2
    ；（2分）
    ∴所求抛物线的解析式为：y=x2+x-2．（3分）

    （2）设点M的坐标为（m，0），则OM=m，ON=2m，CN=2-2m；（4分）
    则S△MNC=
    1
    2
    NC•OM
    =
    1
    2
    （2-2m）•m=-m2+m=-（m-
    1
    2
    ）2+
    1
    4
    ；（7分）
    由x2+x-2=0，得x1=-2，x2=1；
    ∴点B的坐标为（1，0）．（8分）
    则0＜m＜1，
    ∴当m=
    1
    2
    时，S△MNC有最大值
    1
    4
    ，
    此时，点M的坐标为（
    1
    2
    ，0），点N的坐标为（0，-1）．（9分）

    （3）在△ODF中，
    ①若DO=DF，
    ∵A（-2，0），D（-1，0），
    ∴AD=DO=DF=1；
    又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
    ∴∠OAC=45°．
    ∴∠DFA=∠OAC=45°．
    ∴∠ADF=90°．
    此时，点F的坐标为（-1，-1）；
    由x2+x-1=-1，得x1=
    1+
    		5
    2
    ，x2=
    -1-
    		5
    2
    ；
    此时，点P的坐标为：（
    1+
    		5
    2
    ，-1）或（
    -1-
    		5
    2
    ，-1）；（10分）
    ②若FO=FD，过点F作FE⊥x轴于点E．
    由等腰三角形△AEF中，FE=AE=
    3
    2
    ．
    ∴F（-
    1
    2
    ，-
    3
    2
    ）．
    由x2+x-2=-
    3
    2
    ，得x1=
    -1+
    		3
    2
    ，x2=
    -1-
    		3
    2
    ．
    此时，点P的坐标为：(
    -1+
    		3
    2
    ，-
    3
    2
    )    或(
    -1-
    		3
    2
    ，-
    3
    2
    )    ．（11分）
    ③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
    ∴AC=2
    		2
    ．
    ∴点O到AC的距离为
    		2
    ，而OF=OD=1＜
    		2
    ，
    此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．
    综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，
    所求点P的坐标为：(
    -1+
    		5
    2
    ，-1)    或(
    -1-
    		5
    2
    ，-1)    或(
    -1+
    		3
    2
    ，-
    3
    2
    )    或(
    -1-
    		3
    2
    ，-
    3
    2
    )    ．（12分）
    点评：此题考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数最值的应用、等腰三角形的构成条件、等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类讨论的数学思想，难度较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为-1和3，精英家教网与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M．
    （1）求这条抛物线的解析式；
    （2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；
    （3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
    （1）求该抛物线的对称轴；
    （2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
    （3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•宁化县质检）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1-
    		3
    ，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′（1，3）处．
    （1）求原抛物线的解析式；
    （2）在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上？若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
    （3）学校举行班徽设计比赛，九年级（5）班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比
    		5
    -1
    2
    （约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：
    		5
    ≈2.236    ，
    		6
    ≈2.449    ，结果精确到0.001）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
    （3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
    （4）若平行于x轴的动直线l与线段AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知，如图，抛物线y=x2+px+q与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA≠OB，OA=OC，设抛物线的顶点为点P，直线PC与x轴的交点D恰好与点A关于y轴对称．
    （1）求p、q的值．
    （2）在题中的抛物线上是否存在这样的点Q，使得四边形PAQD恰好为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
    （3）连接PA、AC．问：在直线PC上，是否存在这样点E（不与点C重合），使得以P、A、E为顶点的三角形与△PAC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

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