Question

如图，在△ABC中，D为AB边的中点，DP⊥AB交∠ACB的平分线于点P，PM⊥AC于点M，PN⊥BC交CB的延长线于点N，求证：CM=BC+AM．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：连接AP，BP，易证PM=PN和AP=BP，即可证明RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN，可得AM=BN和CM=CN，即可解题．

解答：证明：连接AP，BP，

∵CP是∠ACB平分线，
∴PM=PN，
∵PD⊥AB，D是AB中点，
∴AP=BP，
在RT△APM和RT△BPN中，

AP=BP PM=PN

，
∴RT△APM≌RT△BPN（HL），
∴AM=BN，
在RT△CPM和RT△CPN中，

CP=CP PM=PN

，
∴RT△CPM≌RT△CPN（HL），
∴CM=CN，
∵CN=BC+BN，
∴CM=BC+AM．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证RT△APM≌RT△BPN和RT△CPM≌RT△CPN是解题的关键．