Question

AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y≠0）．
（1）如图1，当△ABC为等边三角形且α=30°时证明：△AMN∽△DMA；
（2）如图2，证明：

1

x

+

1

y

=2；
（3）当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点N′，设AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），猜想：

1

x′

+

1

y′

=

2

n

是否成立？并说明理由．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：几何综合题

分析：（1）利用“两角法”证得两个三角形相似；
（2）如图1，过点C作CF∥AB交MN于点F，构建相似三角形：△CFN∽△AMN，利用该相似三角形的对应边成比例求得

NC

NA

=

CF

AM

．通过证△CFD≌△BMD得到BM=CF，利用比例的性质和相关线段的代入得到

yAC-AC

yAC

=

AB-xAB

xAB

，即

1

x

+

1

y

=2；
（3）猜想：

1

x′

+

1

y′

=

2

n

 成立．需要分类讨论：①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N．由平行线截线段成比例得到

AM′

AM

=

AG

AD

=

AN′

AN

，易求x=

x′

n

，y=

y′

n

，利用（2）的结果可以求得

1

x′

+

1

y′

=

2

n

；
②如图丙，当过点D作M₁N₁∥M'N'交AB的延长线于M₁，交AC1于N₁，则同理可得

1

x′

+

1

y′

=

2

n

．

解答：解：（1）证明：
如图1，在△AMD中，
∵AD是△ABC的中线，△ABC为等边三角形，
∴AD⊥BC，∠MAD=30°，
又∵α=∠BDM=30°，
∴∠MDA=60°
∴∠AMD=90°，
在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°，
∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA，
∴△AMN∽△DMA；

（2）证明：如图甲，过点C作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN

∴

NC

NA

=

CF

AM

．
∵CF∥BM，
∴∠B=∠DCF，
在△CFD和△BMD中，

∠B=∠CDF BD=CD ∠BDM=∠CDF

∴△CFD≌△BMD，
∴BM=CF，
∴

AN-AC

AN

=

BM

AM

=

AB-AM

AM

，
∴

yAC-AC

yAC

=

AB-xAB

xAB

，即

1

x

+

1

y

=2；

（3）猜想：

1

x′

+

1

y′

=

2

n

 成立．理由如下：
①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N，
则

AM′

AM

=

AG

AD

=

AN′

AN

∴

x′

x

=n=

y′

y

，
即x=

x′

n

，y=

y′

n

由（2）知

1

x

+

1

y

=2
∴

1

x′

+

1

y′

=

2

n

②如图丙，当过点D作M₁N₁∥M'N'交AB的延长线于M₁，交AC1于N₁，则同理可得

1

x′

+

1

y′

=

2

n

．

点评：本题考查了相似三角形的综合题型．此题涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等．此题的难点在于辅助线的作法，解题时，需要认真的思考才能理清解题思路．