Question

已知双曲线y=

4

x

与直线y=

1

4

x交于A、B两点（点A在点B的左侧）．如图，点P是第一象限内双曲线上一动点，BC⊥AP于C，交x轴于F，PA交y轴于E，则

AE2+BF2

EF2

的值是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,反比例函数与一次函数的交点问题,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：计算题,压轴题

分析：方法1：由所求的式子联想到勾股定理，故过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设FH=a，则有OF=4+a，BF²=a²+1．易证△AEG∽△BFH，从而有

AE

BF

=

EG

FH

=

AG

BH

=4，就可用a的代数式表示AE²、EF²，然后代入所求的式子就可解决问题；
方法2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，易证△AOG≌△BOF，则有AG=BF，OG=OF．根据线段的垂直平分线的性质可得EG=EF，在Rt△GAE中运用勾股定理可得AG²+AE²=GE²，然后通过等量代换就可解决问题．

解答：解1：过A作AG⊥y轴于G，过B作BH⊥x轴于H，设直线AC与x轴交于点K，如图，

联立

y= 4 x y= 1 4 x

，
解得：

x1=-4 y1=-1

，

x2=4 y2=1

．
∵点A在点B的左侧，
∴A（-4，-1），B（4，1）．
∴AG=4，OG=1，OH=4，BH=1．
设FH=a，则有OF=OH+FH=4+a，BF²=FH²+BH²=a²+1．
∵AC⊥CF，OE⊥OK，
∴∠CFK=90°-∠CKF=∠OEK．
∵AG⊥y轴，BH⊥x轴，
∴∠AGE=∠BHF=90°．
∴△AEG∽△BFH．
∴

AE

BF

=

EG

FH

=

AG

BH

=4．
∴AE²=16BF²=16（a²+1），EG=4FH=4a．
∴OE=

.

EG-OG

.

=|4a-1|．
∴EF²=（4a-1）²+（4+a）²=17（a²+1）．
∴

AE2+BF2

EF2

=

16(a2+1)+(a2+1)

17(a2+1)

=1．
故答案为：1．
解2：过点A作AG∥BF，交x轴于点G，连接EG，如图．

则有∠GAC=∠FCA=90°，∠AGO=∠BFO．
∵双曲线y=

4

x

与直线y=

1

4

x都关于点O成中心对称，
∴它们的交点也关于点O成中心对称，即OA=OB．
在△AOG和△BOF中，

∠AGO=∠BFO ∠AOG=∠BOF OA=OB

，
∴△AOG≌△BOF，
∴AG=BF，OG=OF．
∵OE⊥GF，
∴EG=EF．
∵∠GAC=90°，
∴AG²+AE²=GE²，
∴BF²+AE²=EF²，
∴

AE2+BF2

EF2

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质等知识，而由线段的平方联想到勾股定理是解决本题的关键．