Question

如图所示，BE、CD交于A点，∠C和∠E的平分线相交于F．
（1）试求：∠F与∠B，∠D有何等量关系？
（2）当∠B﹕∠D﹕∠F=2﹕4﹕x时，x为多少？

Answer 1

解：（1）由图可得：∠D+∠1=∠3+∠F①
∠2+∠F=∠B+∠4②
又∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴①-②得：∠B+∠D=2∠F；

（2）设∠F=xk，则∠B=2k，∠D=4k，
∴∠B：∠D：∠F=2k：4k：xk=2：4：x
∵∠B+∠D=2∠F；
∴x=3．
分析：（1）由三角形内角和外角的关系可知∠D+∠1=∠3+∠F，∠2+∠F=∠B+∠4，由角平分线的性质可知∠1=∠2，∠3=∠4，故：∠F=（∠B+∠D）；
（2）设∠F=xk，则∠B=2k，∠D=4k，列出方程便可解答．
点评：①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．