Question

如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
（1）k的值为

 

；
（2）当m=3，求直线AM的解析式；
（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：计算题,压轴题,数形结合

分析：（1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由k的值确定出反比例解析式，将x=3代入反比例解析式求出y的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y=ax+b，将A与M坐标代入求出a与b的值，即可确定出直线AM解析式；
（3）由MP垂直于x轴，AB垂直于y轴，得到M与P横坐标相同，A与B纵坐标相同，表示出B与P坐标，分别求出直线AM与直线BP斜率，由两直线斜率相等，得到两直线平行．

解答：解：（1）将A（1，6）代入反比例解析式得：k=6；
故答案为：6；

（2）将x=3代入反比例解析式y=

6

x

得：y=2，即M（3，2），
设直线AM解析式为y=ax+b，
把A与M代入得：

a+b=6 3a+b=2

，
解得：a=-2，b=8，
∴直线AM解析式为y=-2x+8；

（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，理由为：
当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，
∵A（1，6），M（m，n），且mn=6，即n=

6

m

，
∴B（0，6），P（m，0），
∴k_直线AM=

6-n

1-m

=

6- 6 m

1-m

=

6m-6

-m(m-1)

=-

6(m-1)

m(m-1)

=-

6

m

，
k_直线BP=

6-0

0-m

=-

6

m

，
即k_直线AM=k_直线BP，
则BP∥AM．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及两直线平行与斜率之间的关系，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．