Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∠A=30°．
（1）求证：AD=BD；
（2）过D作DE⊥AB于E，CD=4，AB边上有一点F，且S_△DEF=4，求AF的长．

Answer 1

考点：勾股定理,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）若证明AD=BD，则证明∠A=∠ABD=30°即可；
（2）根据三角形面积公式可求出EF的长，再根据勾股定理可求出AE的长，进而得到AF的长．

解答：解：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴AD=BD；
（2）∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，
∴CD=DE=4，
∵S△DEF=

1

2

DE•EF=

1

2

×4•EF=4，
∴EF=4，
在Rt△ADE中，∠A=30°，DE=4，
∴AE=4

3

，
∴AF=4

3

+2或4

3

-2．

点评：本题考查了勾股定理的运用和含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．