Question

在直角坐标系中，点O₁的坐标为（1，0），⊙O₁与x轴交于原点O和点A，又点B、C的坐标分别为（-1，0）、（0，b），且0＜b＜3，直线l是过B、C点的直线．
（1）当点C在线段OC上移动时，过点O₁作O₁D⊥直线l，交l于点D，若

S△BOC

S△BDO1

=a，试求a、b的函数关系式及a的取值范围；
（2）当D点是⊙O₁的切点时，求直线l的解析式．

Answer 1

分析：（1）因为∠DBO₁=∠OBC，∠BDO₁=∠BOC=90°，可证△BDO₁∽△BOC，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得S_△BOC：S_△BDO1=BC²：O₁B²=a，从而求出a、b的关系式，利用b的取值即可求出a的范围．
（2）利用D是⊙O₁的切点，连接O₁D，则O₁D⊥BC．利用△BOC∽△BDO₁，可得

BD

BO

=

DO1

OC

，进而求出b的值，就求出了C的坐标．
设过B、C的直线l的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求解．

解答：解：（1）∵∠DBO₁=∠OBC，∠BDO₁=∠BOC=90°，
∴△BDO₁∽△BOC．
∴S_△BOC：S_△BDO1=BC²：O₁B²=a
∴

1+b2

4

=a
∴a=

1+b2

4

∵0＜b＜3
∴

1

4

＜a＜

5

2

．

（2）∵D是⊙O₁的切点，连接O₁D，则O₁D⊥BC．
同上可知△BOC∽△BDO₁∴

BD

BO

=

DO1

OC

∴

3

1

=

1

b

∴b=

3

3

，C（0，

3

3

）．
∵B（-1，0），
设过B、C的直线l的解析式为y=kx+b，
则有

0=-k+b b= 3 3

∴

k= 3 3 b= 3 3

∴y=

3

3

x+

3

3

．

点评：本题需仔细分析题意，利用待定系数法和相似三角形的性质即可解决问题．