Question

如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，AB₁⊥BD交BC于B₁，B₁A₁⊥AC于A₁．
（1）求AA₁的长；
（2）如图2，在Rt△A₁B₁C中按上述操作，则AA₂的长为

 

；
（3）在Rt△A₂B₂C中按上述操作，则AA₃的长为

 

；
（4）一直按上述操作得到Rt△A_n-1B_n-1C，则AA_n的长为

 

．

Answer 1

分析：（1）根据等角的余角相等，得∠A₁AB₁=∠ABD，从而根据两角对应相等，证明△A₁AB₁∽△ABD．设A₁A=x，则A₁B₁=A₁C=3-x，根据相似三角形的性质即可求解．
（2）根据（1）的求解过程，易知A₁A₂是1的

2

3

，从而求解；
（3）、（4）根据（1）、（2）的结论，即可推而广之．

解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=AC=3，BD为AC边的中线，
∴AD=

3

2

．
∵在Rt△ABC中，AB₁⊥BD，
∴∠A₁AB₁=∠ABD，
∴△A₁AB₁∽△ABD．
根据题意，易知△A₁B₁C是等腰直角三角形．
设A₁A=x，则A₁B₁=A₁C=3-x，
∴

AA1

A1B1

=

AB

AD

，
即

x

3-x

=

3

3 2

，
解得x=2．
即AA₁=2．

（2）根据（1）的求解过程，得A₁A₂=

2

3

，
则AA₂=

8

3

．

（3）根据（2）、（3）的结论，推而广之，则AA_n=

3n-1

3n-1

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，要求学生能够从已知的式子中找出规律．能够从特殊到一般推而广之