Question

如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1=

k

x

(x＞0)的图象上一点，AB⊥x轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y₂=ax+b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D（0，-2），若S_△AOD=4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，请指出，当y₁≥y₂时，x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由S_△AOD=4，点D（0，-2），可求A的横坐标；由C是OB的中点，可得OD=AB求出A点纵坐标，从而求出反比例函数解析式；根据A、D两点坐标求一次函数解析式；
（2）观察图象知，在交点A的左边，y₁≥y₂，即可得出x的取值范围．

解答：解：（1）作AE⊥y轴于E，
∵S_△AOD=4，OD=2，
∴

1

2

OD•AE=4，
∴AE=4，
∵AB⊥OB，C为OB的中点，
∴∠DOC=∠ABC=90°，OC=BC，∠OCD=∠BCA，
∴Rt△DOC≌Rt△ABC，
∴AB=OD=2，
∴A（4，2），
将A（4，2）代入y1=

k

x

中，得k=8，
∴反比例函数的解析式为：y1=

8

x

，
将A（4，2）和D（0，-2）代入y₂=ax+b，
得

4a+b=2 b=-2

，
解得：

a=1 b=-2

，
∴一次函数的解析式为：y₂=x-2；

（2）根据图象只有在y轴的右侧的情况：
此时当y₁≥y₂时，0＜x≤4．

点评：此题主要考查了待定系数法求出一次函数与反比例函数解析式以及通过观察图象解不等式，利用从交点看起，函数图象在上方的函数值大是解题关键．