Question

如图所示，AB=AC，DE=DC，AD∥BC，求证：∠BAC=∠EDC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，作DG⊥AC于G，根据等边对等角可得∠B=∠ACB，根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB=∠CAD，两直线平行，同位角相等可得∠B=∠DAF，从而得到∠CAD=∠DAF，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DG，然后利用“HL”证明Rt△EFD和Rt△CGD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠CDG，然后求出∠FDG=∠EDC，再根据四边形的内角和定理和平角的定义求出∠BAC=∠FDG，从而得证．

解答：证明：如图，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，作DG⊥AC于G，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠B=∠ACB，∠B=∠DAF，
∴∠CAD=∠DAF，
∴DF=DG（角平分线上的点到角的两边距离相等），
在Rt△EFD和Rt△CGD中，

DE=DC DF=DG

，
∴Rt△EFD≌Rt△CGD（HL），
∴∠EDF=∠CDG，
∵∠EDF=∠FDG-∠EDG，
∠CDG=∠EDC-∠EDG，
∴∠FDG=∠EDC，
∵∠FDG+∠FAG=360°-90°×2=180°，
∠BAC+∠FAG=180°，
∴∠BAC=∠FDG，
∴∠BAC=∠EDC．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．