Question

如图，已知，∠A=90°，D是AB上任意一点，BE⊥BC，∠BCD=∠DCA，EF⊥AB，求证：AD=BF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：过D作DG⊥BC，交BC于点G，由已知角相等，DA垂直于AC，DG垂直于BC，利用角平分线定理得到DA=DG，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ACD与三角形BCE相似，利用相似三角形对应角相等得到一对角相等，再由对应角相等，等量代换得到∠BDE=∠BED，利用等角对等边得到BD=BE，利用AAS得到三角形BDG与三角形BEF全等，利用全等三角形的对应边相等得到DG=BF，等量代换即可得证．

解答：证明：过D作DG⊥BC，交BC于点G，
∵∠BCD=∠DCA，DA⊥AC，DG⊥BC，
∴DA=DG，
∵BE⊥BC，
∴∠DBG+∠EBF=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠EBF+∠BEF=90°，
∴∠DBG=∠BEF，
∵∠ACD=∠BCE，∠A=∠EBC=90°，
∴△ACD∽△BCE，
∴∠CDA=∠BEC，
∵∠CDA=∠BDE，
∴∠BEC=∠BDE，
∴BD=BE，
在△BDG和△BEF中，

∠BGD=∠EFB=90° ∠DBG=∠BEF BD=BE

，
∴△BDG≌△BEF（AAS），
∴DG=BF，
则AD=FB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．