Question

14．已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）试说明：BE=CF；
（2）若AF=3，BC=4，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）连接DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD（HL），得出结论；
（2）先证明△AED≌△AFD，得AF=AE=3，再将△ABC的周长进行等量代换，即△ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AF-CF+BC，代入求值即可．

解答 解：连接DB、DC，
（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵DG垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）∵∠DAE=∠DAF，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，
∴△AED≌△AFD，
∴AF=AE=3，
由（1）得：BE=CF，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC，
=AE+EB+AF-CF+BC，
=AE+AF+BC，
=3+3+4=10．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、垂直平分线的性质，难度适中，角平分线和垂直平分线的性质的综合运用的题较少，这是一个典型题，直接运用性质得线段的长，也可以运用全等得出DE=DF、DB=DC，只是比较麻烦，第（2）问中求的三角形的周长，利用线段相等的转化得出结论，这一思路经常运用，要熟练掌握．