Question

2．抛物线y=a（x-2）²（a＞0）的顶点为A，抛物线与y轴的交点为点C，B为抛物线上一点，△ABC为等边三角形，求函数解析式．

Answer 1

分析 先利用二次函数的性质得A（2，0），再表示出C点坐标为（0，4a），然后根据等边三角形的性质得AC=AB，∠BAC=60°，则点C和点B关于直线x=2对称，作AD⊥BC于D，如图，所以AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，即4a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4，于是求出a即可．

解答 解：抛物线y=a（x-2）²，则A（2，0），
当x=0时，y=4a，则C（0，4a），
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=60°，
∴点C和点B关于直线x=2对称，
∴B（4，4a），
作AD⊥BC于D，如图，则AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴4a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×4，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-2）²．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也看考查了等边三角形的性质．