Question

15．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB₁C₁D₁，边B₁C₁与CD交于点O，则四边形AB₁OD的面积是（　　）

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 连接AC₁，AO，根据四边形AB₁C₁D₁是正方形，得出∠C₁AB₁=∠AC₁B₁=45°，求出∠DAB₁=45°，推出A、D、C₁三点共线，在Rt△C₁D₁A中，由勾股定理求出AC₁，进而求出DC₁=OD，根据三角形的面积计算即可．

解答 解：连接AC₁，

∵四边形AB₁C₁D₁是正方形，
∴∠C₁AB₁=$\frac{1}{2}$×90°=45°=∠AC₁B₁，
∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB₁C₁D₁，
∴∠B₁AB=45°，
∴∠DAB₁=90°-45°=45°，
∴AC₁过D点，即A、D、C₁三点共线，
∵正方形ABCD的边长是1，
∴四边形AB₁C₁D₁的边长是1，
在Rt△C₁D₁A中，由勾股定理得：AC₁=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
则DC₁=$\sqrt{2}$-1，
∵∠AC₁B₁=45°，∠C₁DO=90°，
∴∠C₁OD=45°=∠DC₁O，
∴DC₁=OD=$\sqrt{2}$-1，
∴△ADO的面积=$\frac{1}{2}$OD•AD=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，
∴四边形AB₁OD的面积是=2×$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$=$\sqrt{2}$-1．
故选：A．

点评 本题考查了正方形性质，勾股定理等知识点，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．