Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，M为BC的中点，E、F分别为AB、CD边上的动点，在点E、F运动的过程中始终保持△EMF为直角三角形，其中∠EMF=90°．则直角三角形的斜边EF的取值范围是________．

Answer 1

4≤EF≤5
分析：根据同角的余角相等求出∠BME=∠CFM，然后求出△BME和△CFM相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BE、CF的关系，过点E作EG⊥CD于G，表示出FG=CF-BE，然后根据勾股定理列式求出EF²，再根据CF的取值范围确定出BE的长，然后求出EF²的取值范围，从而得解．
解答：解：∵M为BC的中点，正方形ABCD的边长为4，
∴BM=CM=2，
∵∠EMF=90°，
∴∠BME+∠CMF=90°，
∵∠CFM+∠CMF=90°，
∴∠BME=∠CFM，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BME∽△CFM，
∴=，
∴BE•CF=BM•CM=2×2=4，
∵CF最大时为4，此时BE=1，BE最大时为4，此时CF=1，
∴0≤CF-BE≤3，
过点E作EG⊥CD于G，
则EG=BC=4，
在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²=16+（CF-BE）²，
∴16≤EF²≤16+9，
∴4≤EF≤5．
故答案为：4≤EF≤5．
点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，要注意根据等式求出CF、BE的取值范围，这也是本题的难点．