Question

10．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．
（1）求证：△APN∽△ABC；
（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．

Answer 1

分析 （1）由四边形PQMN是矩形，得到PN∥BC，即可得到三角形相似；
（2）由三角形相似得到比例式即可求得结果．

解答 解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∴PN∥BC，
∴∠APN=∠B，∠ANP=∠C，
∴△APN∽△ABC；

（2）∵△APN∽△ABC，
∴$\frac{PN}{BC}=\frac{AE}{AD}$，
又∵PQ：PN=3：2，
设PQ=3xcm，则PN=2xcm，
∴$\frac{2x}{40}=\frac{60-3x}{60}$，
解得：x=10，
∴PQ=30，PN=20．
答：矩形PQMN的长和宽分别是30cm和20cm．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．