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    已知：抛物线y=ax2+c交x轴于A、B两点，且AB=5，交y轴于点C（0，
    75
    16
    ）．
    （1）求抛物线的解析式．
    （2）若点D为抛物线在x轴上方的任意一点，求证：tan∠DAB+tan∠DBA为一定值．
    （3）若点D（-1.5，m）是抛物线y=ax2+c上一点
    ①判断△ABD的形状并加以证明．
    ②若M是线段AD上一动点（不与A、D重合），N是线段AB上一点，设AN=t，t为何值时，线段AD上的点M总存在两个不同的位置使∠BMN=∠BDA？
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）根据y=ax2+c交y轴于C（0，
    75
    16
    ），可得c=
    75
    16
    ，再根据对称轴为y轴，AB=5，可得B（
    5
    2
    ，0），A（-
    5
    2
    ，0），再根据待定系数法可求抛物线的解析式；     
    （2）设D（x，-
    3
    4
    x2+
    75
    16
    ），过D作DE⊥AB于E点．根据正切函数可得tan∠DAB+tan∠DBA是一个定值．
    （3）①将D（-15，m）代入y=-
    3
    4
    x2    +
    75
    16
    中，可得D点坐标，再根据勾股定理得到BD=
    		DE2+BE2
    =5=AB，根据等腰三角形的判断即可得到△ABD是等腰三角形．
    ②设AM=x，则DM=
    		10
    -x    ，根据相似三角形的判定和性质可得关于x的方程，根据根的判别式和实际意义可得t的取值范围．
    解答：解：（1）∵y=ax2+c交y轴于C（0，
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    ），
    ∴c=
    75
    16
    ，
    ∵对称轴为y轴，AB=5，
    ∴B（
    5
    2
    ，0），A（-
    5
    2
    ，0），
    将B（
    5
    2
    ，0）代入y=ax2+
    75
    16
    ，
    解得a=-
    3
    4
    ．
    ∴y=-
    3
    4
    x2+
    75
    16
    ；        

    （2）设D（x，-
    3
    4
    x2+
    75
    16
    ），
    如图，过D作DE⊥AB于E点．
    ∴tan∠DAB+tan∠DBA
    =
    DE
    AE
    +
    DE
    BE

    =
    -
    3
    4
    x2+
    75
    16
    t+
    5
    2
    +
    -
    3
    4
    x2+
    75
    16
    5
    2
    -t

    =
    15
    4
    ，
    ∴tan∠DAB+tan∠DBA是一个定值．

    （3）①△ABD是等腰三角形．理由如下：
    将D（-1.5，m）代入y=-
    3
    4
    x2    +
    75
    16
    中，
    可得m=3，
    ∴D（-
    3
    2
    ，3），
    ∴DE=3，BE=
    5
    2
    -(-
    3
    2
    )=4    ，
    ∴BD=
    		DE2+BE2
    =5=AB，
    ∴△ABD是等腰三角形．
    ②由①可得，AD=
    		10
    ，
    设AM=x，则DM=
    		10
    -x    ，
    ∵AB=BD，
    ∴∠BAD=∠BDA，
    ∵∠BMN=∠BDA，
    ∴∠BMD+∠AMN=∠BMD+∠DBM，
    ∴∠AMN=∠DBM，
    ∴△AMN∽△DBM，
    ∵AN=t，
    ∴
    AM
    DB
    =
    AN
    DM
    ，
    ∴
    x
    5
    =
    t
    		10
    -x
    ，
    x2-
    		10
    x+5t=0    ，
    ∵存在两个不同的位置，
    ∴该方程有两个不相等的实数根，
    ∴△=10-4×5t＞0，
    解得t＜
    1
    2
    ．
    ∴当0＜t＜
    1
    2
    时，总存在两个不同的位置，使∠BMN=∠BDA．
    点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的解析式，正切函数，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，根的判别式，综合性较强，有一定的难度．
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    （1）2x2-5x-3=0；    
    （2）
    3
    x+1
    +
    1
    x-1
    =
    6
    x2-1
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算：
    		18
    -
    1
    		3
    -（
    4
    3
    +6
    1
    8
    ）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线C1：y=ax2+bx+4的图象与两坐标轴分别交于A、B、C三点，经过点E（0，-2）的直线l：y=kx-2（k≠0）与x轴、抛物线的对称轴x=-1交于点F．
    （1）填空：OC=
     
    ；OF=
     
    ；
    （2）连结AE．若△OAE∽△OEF，请求出抛物线C1的解析式；
    （3）在（2）的条件下，把抛物线C1向右平移1个单位后，向下平移
    9
    2
    个单位得到新的抛物线C2．再将直线l绕着点E进行旋转，当直线l与抛物线C2相交于不同的两个交点M、N时，过点P（0，2）、点M与点N分别作直线PM、PN．猜想：直线PM、PN、CE之间的位置关系（除相交于点P外）．并请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    现有面额100元和50元的人民币共35张，面额合计3000元，求这两种人民币各有多少张？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    甲乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测验得分情况（单位：分）如图所示
    （1）分别求出两人得分的平均数与方差；
    （2）根据图示（如图）和上面算的结果，对两人的训练成绩作出评价．
    （3）要从两人中选一人参加集训队，你认为选哪位较合适？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，抛物线y=ax2+2ax+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，tan∠CBO=2，动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）①直接写出点P所经过的路径长；
        ②若点Q在直线AC上方的抛物线上，且四边形PDCQ是平行四边形，求点Q的坐标；
    （3）点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连结EF，求EF的最小值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知抛物线y=
    1
    2
    x2-mx+2m-
    7
    2
    的顶点为点C．
    （1）求证：不论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
    （2）若抛物线的对称轴为直线x=-3，求m的值和C点坐标；
    （3）如图，直线y=x-1与（2）中的抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D．直线x=k交直线AB于点M，交抛物线于点N．求当k为何值时，以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    在平面直角坐标系中，点A（1，2a+3）在第一象限．
    （1）若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，求a的值；
    （2）若点A到x轴的距离小于到y轴的距离，求a的取值范围．

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