Question

（2011•营口）已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．
（1）如图（1），当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；
（2）如图（2），当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）如图（3），当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）

Answer 1

分析：（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证△PDC≌△PBC，推出PB=PD=PE，∠PDE=180°-∠PBC=∠PED，求出∠PEC+∠PBC=180°，求出∠EPB的度数即可；
（1）和（3）证法与（2）类似．

解答：（1）解：①PE=PB，②PE⊥PB．

（2）解：（1）中的结论成立．
①∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴CD=CB，∠ACD=∠ACB，
又　PC=PC，
∴△PDC≌△PBC，
∴PD=PB，
∵PE=PD，
∴PE=PB，
②：由①，得△PDC≌△PBC，
∴∠PDC=∠PBC．（7分）
又∵PE=PD，
∴∠PDE=∠PED．
∴∠PDE+∠PDC=∠PEC+∠PBC=180°，
∴∠EPB=360°-（∠PEC+∠PBC+∠DCB）=90°，
∴PE⊥PB．

（3）解：如图所示：

结论：①PE=PB，②PE⊥PB．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂线等知识点，解此题的关键是求出PD=PB和∠PEC+∠PBC=180°，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生的观察能力和分析问题的能力．