Question

（2011•营口）已知⊙O的直径AB=2，过点A的两条弦AC=

2

，AD=

3

，则∠CBD=

15°或105°（只答对一个给1分）

．

Answer 1

分析：分两条弦在直径AB的同侧和异侧两种情况讨论即可求解．

解答：解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=2，AC=

2

，
∴sin∠ABC=

AC

AB

=

2

2

，∴∠ABC=45°；
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2，AD=

3

，
∴sin∠ABD=

AD

AB

=

3

2

，∴∠ABD=60°．
分两种情况：
①当两条弦AC与AD在直径AB的同侧时，∠CBD=∠ABD-∠ABC=15°；
②当两条弦AC与AD在直径AB的异侧时，∠CBD=∠ABD+∠ABC=105°．
综上可知∠CBD=15°或105°．
故答案为15°或105°．

点评：本题考查了解直角三角形及圆周角定理，难度中等，能够考虑到两条弦AC、AD与直径AB的位置关系，从而进行分类讨论是解决本题的关键．