Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于点E，F为BC上一点，BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H．下列结论：
①AF⊥CE；②△ABF∽△DGA；③AF=

2

DH；④S四边形ADCG=

1

2

DG2．
其中正确的结论有

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,直角梯形

专题：压轴题

分析：先判断出△ABC是等腰直角三角形，过点E作EF′⊥BC于F′，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AE=EF′，再根据等腰直角三角形的性质可得BF′=EF′，从而确定点F、F′重合，再利用“HL”证明△ACE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=CF，根据等腰三角形三线合一的可得AF⊥CE，判断出①正确；求出∠AFC=∠FAC=67.5°，再求出∠DAG=∠AFB=112.5°，∠BAF=∠ACE=22.5°，再根据点A、G、C、D四点共圆得到∠ADG=∠ACE，然后利用两组角对应相等，两三角形相似判断出②正确；求出△ACF和△HCD相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AF=

2

DH，判断出③正确；根据S_{四边形ADCG}=S_△ACG+S_△ADC，利用三角形的面积列出整理成AF•DG的形式，再把AF用DG表示，然后代入进行计算即可判断④正确．

解答：解：∵∠BAC=∠ADC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
过点E作EF′⊥BC于F′，
则△BEF′是等腰直角三角形，
∴BF′=EF′，
∵CE平分∠ACB，
∴AE=EF′，
∴AE=BF′，
∵BF=AE，
∴BF=BF′，
∴点F、F′重合，
在△ACE和△FCE中，

CE=CE AE=EF

，
∴△ACE≌△FCE（HL），
∴AC=CF，
∵CE平分∠ACB，
∴AF⊥CE，故①正确；

∵∠AFC=∠FAC=90°-

1

2

×45°=67.5°，
∴∠DAG=∠AFB=112.5°，
∠BAF=∠ACE=

1

2

×45°=22.5°，
∵∠AGC=90°，∠ADC=90°，
∴点A、G、C、D四点共圆，AC是直径，
∴∠ADG=∠ACE=22.5°，
∴∠ADG=∠BAF，
∴△ABF∽△DGA，故②正确；

∵∠CDH=90°-∠ADG=90°-22.5°=67.5°，
∴∠CDH=∠FAC=67.5°，
又∵∠ACF=∠ACD=45°，
∴△ACF∽△HCD，
∴

AF

DH

=

AC

CD

，
∵△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，∠ADC=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=

2

CD，
∴AF=

2

DH，故③正确；

∵∠GDC=∠GCD=90°-22.5°=67.5°，
∴DG=CG，
∵△ABF∽△DGA，
∴

AD

AF

=

DG

AB

，
∴AF•DG=AD•AB=AD•

2

AD=

2

AD²，
∴AD²=

2

2

AF•DG，
S_{四边形ADCG}=S_△ACG+S_△ADC，
=

1

2

AG•CG+

1

2

AD•CD，
=

1

2

×

1

2

AF•DG+

1

2

×

2

2

AF•DG，
=

2 +1

4

AF•DG，
∵DG=DH+GH=DH+AG=

2

2

AF+

1

2

AF=

2 +1

2

AF，
∴AF=

2

2 +1

DG，
∴S_{四边形ADCG}=

2 +1

4

×

2

2 +1

DG•DG=

1

2

DG²，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角梯形，根据角的度数22.5°和67.5°求出相等的角是解题的关键，也是本题的难点．