Question

16．某商品的进价为每个3元，已知该商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系y=ax²+16x+c，其图象如图所示．
（1）求a、c的值；
（2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（3）销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）利用配方法求出二次函数最值即可；
（3）根据题意令y=16，解方程可得x的值，结合图象可知x的范围．

解答 解：（1）y=ax²+16x+c图象过点（3，0）、（5，16），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+48+c=0}\\{25a+80+c=16}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=-39}\end{array}\right.$．

（2）∵y=-x²+16x-39=-（x-8）²+25，
∴当x=8时，y_最大=25．
答：销售单价为8元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；

（3）根据题意，当y=16时，得：-x²+16x-39=16，
解得：x₁=5，x₂=11，
即销售单价5≤x≤11时，该种商品每天的销售利润不低于16元．

点评 本题考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．